Разберем каждую пословицу отдельно:

Руки не протянешь - с полки не достанешь.
Если не протянуть руки, то до предмета будет не дотянуться. Чтобы что-то сделать, человеку нужно прикладывать усилия.

Шить не будешь - портным не станешь.
Без навыков человек не сможет стать тем, кем он хочет. Если он желает стать портным, ему нужно шить, если хочет работать поваром, то должен учиться готовить. В каждом деле нужен опыт.

Шутке - минутка, а делу - час.
Человек должен больше времени уделять делам, а не забавам. Поэтому урок в школе длится намного дольше, чем перемена.

Перо пишет, а ум водит.
Написать текст на бумаге можно пером или ручкой. Эти предметы только позволяют перенести текст из головы на бумагу. Придумывает же этот текст, не перо, а ум.

По мышке и кошка - зверь.
У мышки маленькие размеры. Ее врагом является кошка, так как кошки охотятся на мышей. Поэтому для маленькой мышки, кошка является зверем. Хотя для людей она - питомец и лучший друг.